sexta-feira, 14 de setembro de 2012

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TRABALHO

MATEMÁTICA

3ª UNIDADE

COLÉGIO: E. S. Mascarenhas

PROF: Marivaldo

GRUPO: Alan, Leila, Marciana, Leandro, Queliane.

SÉRIE: 1ª Ano "C"
TURNO:Vespertino

Pilão Arcado – BA

TEMA: Trigonometria

Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a

e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de . Este número é chamado de seno [3] de A e é escrito como . Similarmente, pode-se definir :

Triometria

Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.

Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.

sexta-feira, 27 de abril de 2012

Trabalho

Matematica

Colégio: E. S. Mascarenhas

Prof: Marivaldo

Grupo: Alan, Leila, Marciana, Adriel, Queliane, Leandro.

Série: 1ª Ano ©

Turno: Vespertino

TEMA: Conjuntos

Tema: Conjunto

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos [1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A [2].

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$ .

Notação matemática

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

$A=\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!$

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

$A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!$

Um conjunto ABCDEFGHIJ também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B^[3]. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

$A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}$

ou ainda:

$A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le x \le 3 \right\}$

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A \,\!$ e $B \,\!$ são conjuntos e todo o elemento $x \,\!$ pertencente a $A \,\!$ também pertence a $B \,\!$ , então o conjunto $A \,\!$ é dito um subconjunto do conjunto $B \,\!$ , denotado por $A \subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A=B$ ). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B \,\!$ não pertence a $A \,\!$ , então $A \,\!$ é chamado de subconjunto próprio de $B \,\!$ , denotado por $A \subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio

quinta-feira, 26 de abril de 2012

Conjunto

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou $\emptyset$ .
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph-0), $\aleph_1, \aleph_2 ...$ .
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $|A|=|B|$ .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de $A$ , denotado por $P(A)\,\!$ . O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é $2^n$ , ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a $2^n$ . Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto $\{0,1\}^A$ , é usual representar-se P(A) por $2^A\,\!$ .
O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|\,\!$