sexta-feira, 27 de abril de 2012

Trabalho

Matematica

Colégio: E. S. Mascarenhas

Prof: Marivaldo

Grupo: Alan, Leila, Marciana, Adriel, Queliane, Leandro.

Série: 1ª Ano ©

Turno: Vespertino

TEMA: Conjuntos

Tema: Conjunto

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos [1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A [2].

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$ .

Notação matemática

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

$A=\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!$

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

$A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!$

Um conjunto ABCDEFGHIJ também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B^[3]. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

$A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}$

ou ainda:

$A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le x \le 3 \right\}$

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A \,\!$ e $B \,\!$ são conjuntos e todo o elemento $x \,\!$ pertencente a $A \,\!$ também pertence a $B \,\!$ , então o conjunto $A \,\!$ é dito um subconjunto do conjunto $B \,\!$ , denotado por $A \subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A=B$ ). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B \,\!$ não pertence a $A \,\!$ , então $A \,\!$ é chamado de subconjunto próprio de $B \,\!$ , denotado por $A \subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio

quinta-feira, 26 de abril de 2012

Conjunto

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou $\emptyset$ .
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph-0), $\aleph_1, \aleph_2 ...$ .
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $|A|=|B|$ .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de $A$ , denotado por $P(A)\,\!$ . O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é $2^n$ , ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a $2^n$ . Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto $\{0,1\}^A$ , é usual representar-se P(A) por $2^A\,\!$ .
O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|\,\!$

Conjuntos

Operações com conjuntos

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.


		A união (ou reunião) de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cup B$ composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $A \,\!$ ou $B \,\!$ . A união de N conjuntos $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i$ é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S_i \,\!$ . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por $A \cup B=\{\forall x\|x\in A \or x\in B\}$
		A interseção de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cap B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ .
		A diferença $A \setminus B$ (ou $A\,\!$ $-$ $B\,\!$ ) entre dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto dos elementos que pertencem a $A \,\!$ e que não pertencem a $B \,\!$ .